Классические методы расчета надежности систем

К классическим методам относятся модели надежности с последовательным, параллельным, параллельно-последовательным соединениями элементов, их различные модификации.

Модель с последовательным соединением элементов. При расчетах надежности последовательным называется такое соединение элементов, при котором отказ хотя бы одного из них приводит к отказу всего соединения в целом. Последовательное соединение в указанном выше смысле не всегда совпадает с физическим последовательным соединением элементов. Отказы элементов предполагаются независимыми, то есть отказ любой группы элементов никак не влияет на вероятностные характеристики остальных элементов. Элемент понимается как один из самостоятельных участков последовательного соединения.

Последовательное соединение элементов

В данном случае вероятность безотказной работы системы можно рассчитать по формуле:

где Р с – вероятность безотказной работы системы; Р i (t) – вероятность безотказной работы i- го элемента системы

Модель с параллельным соединением элементов (рис. 2.2). При расчетах надежности параллельным (резервным) называется такое соединение элементов, при котором отказ всего соединения происходит при отказе всех элементов системы (элементы дублируют друг друга).

Параллельное соединение элементов

В этом случае показатель надежности системы P c определяется через вероятности отказа элементов q 1 , q 2 , …, q n , которые связаны с вероятностью безотказной работы соотношениями вида q i (t) = 1 – P i (t)

Вероятность отказа всей системы равна:

Тогда вероятность безотказной работы системы с параллельным соединением элементов q 1 , q 2 , …, q n имеет вид

Модель с параллельно-последовательным соединением элементов . При расчетах надежности параллельно-последовательным называется такое соединение элементов, при котором можно составить структурные схемы участков как с последовательным, так и с паралелльным соединением элементов

Параллельно-последовательное соединение элементов

Для системы вначале рассчитывается вероятность безотказной работы участка 23:

P 23 = 1 - (1 - P 2 (t))×(1 – P 3 (t)),

затем – участка 123: P 123 (t) = P 1 (t)×P 23 (t) = P 1 (t)×(1 – (1 – P 2 (t))×(1 – P 3 (t))).

Итоговая расчетная формула имеет вид P с (t) = 1 – (1 – P 123 (t))×(1 – P 4 (t)).

Модели несводимые к параллельно-последовательным соединениям . К данному классу относятся системы с мостовыми и еще более сложными соединениями элементов (рис. 2.4).

Пример мостового соединения элементов

Система является работоспособной, если работоспособны элементы:

Надежность систем данного класса целесообразно оценивать по логико-вероятностному методу, используя аппарат алгебры логики.

Модель с использованием марковских процессов. Модель задается в виде состояний, в которых система может находиться, и возможных переходов из одного состояния в другое (рис. 2.5).

При представлении ИС с помощью данной модели используется теория марковских процессов в том случае, если нахождение системы не зависит от того, в каком состоянии находилась ИС в прошлом.

Вероятностный граф состояний системы имеет следующие состояния:

1. Работают оба элемента системы.

2. Отказ одного из элементов.

3. Отказ двух элементов.

Вероятностный граф состояний системы

Если заданы вероятности перехода системы из состояния iв состояние j b ij , то можно определить вероятности нахождения системы в i- м состоянии P i (t), а значит и показатели надежности, составляя и решая уравнение Колмогорова – Смирнова.

Производная от вероятности нахождения системы в i-том состоянии равна алгебраической сумме произведений интенсивностей перехода на вероятности соответствующих состояний. Тем произведениям, которым соответствуют уходящие из данного состояния стрелки, приписывают знак "-", а входящим – "+".

Таким образом, для данного примера системы имеем:

Решив систему уравнений мы определим вероятности нахождения системы в i-м состоянии P i (t).

Функция вероятности безотказной работы системы в данном случае равна вероятности нахождения системы в 1-м состоянии: P c (t) = P 1 (t).

Метод основан на математическом аппарате алгебры логики. Расчет надежности системы управления предполагает определение связи между сложным событием (отказ системы) и событиями, от которых оно зависит (отказы элементов системы). Следовательно, расчеты на надежность основаны на проведении операций с событиями и высказываниями, в качестве которых принимаются утверждения о работоспособности или отказе элемента (системы). Каждый элемент системы представляется логической переменной, принимающей значение 1 или 0.

События и высказывания при помощи операций дизъюнкции, конъюнкции и отрицания объединяются в логические уравнения, соответствующие условию работоспособности системы. Составляется логическая функция работоспособности. Расчет, основанный на непосредственном использовании логических уравнений, называется логико-вероятностным и выполняется в семь этапов:

1. Словесная формулировка условий работоспособности объекта. Описывается зависимость работоспособности информационной системы от состояния ее отдельных элементов.

2. Составление логической функции работоспособности. Представляет собой логическое уравнение, соответствующее условию работоспособности системы управления

которое выражено в дизъюнктивной форме, например:

где x i – условие работоспособности i- го элемента Fл; X i = 1 – работоспособное состояние, X i = 0 – неработоспособное состояние.

3. Приведение логической функции работоспособности F Л к ортогональной бесповторной форме F ЛО. Сложную логическую функцию работоспособности необходимо привести к ортогональной бесповторной форме.

Функция вида (2.2) называется ортогональной, если все ее члены D i попарно ортогональны (то есть, их произведение равно нулю), и бесповторной, если каждый ее член D i состоит из букв х i , с разными номерами (то есть отсутствуют повторяющиеся аргументы), например: произведение элементарных конъюнкций х 1 , х 2 , x 4 и х 3 , x 2 равно нулю, так как одна из них содержит x 2 , а другая – x 2 , следовательно, они ортогональны; D 1 = x 1 ×x 2 ×x 2 , где x 2 и x 2 имеют один и тот же номер, поэтому член D 1 не является бесповторным.

– ортогональная бесповторная форма;

– ортогональная, но не бесповторная форма.

Функцию F л можно преобразовать к ортогональной бесповторной форме F ло, используя законы и правила преобразования сложных высказываний. При расчетах наиболее употребительны правила:

4. Арифметизация F ло. По найденной ортогональной бесповторной логической функции работоспособности F ЛО определяется арифметическая функция F a (2.3).

где A i – арифметическая форма членов D i функции F ло.

Арифметизация членов D i , в общем виде содержащих операции дизъюнкции, конъюнкции и отрицания, осуществляется заменой логических операций арифметическими по правилам:

5. Определение вероятности безотказной работы системы.

Вероятность безотказной работы системы устанавливается как вероятность истинности логической функции работоспособности, представленной в ортогональной бесповторной форме, и вычисляется как сумма вероятностей истинности всех ортогональных членов этой функции алгебры логики. Все события (высказывания) заменяются их вероятностями (вероятностями безотказной работы соответствующих элементов).

6. Вычисление требуемых показателей надежности системы управления по найденному показателю P c (t):

Вероятность безотказной работы P c (t);

Вероятность отказа Q c (t) = 1 – P c (t);

Интенсивность отказов

Средняя наработка до отказа

7. Анализ соответствия полученных показателей надежности заданным техническим требованиям системы.

Допущения, принимаемые при логико-вероятностном методе: для элементов системы возможны только два состояния; метод применим для невосстанавливаемых систем; отказы элементов системы должны быть независимы.

ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ РАЗДЕЛЫ ОБЩЕГО ЛОГИКО-ВЕРОЯТНОСТНОГО МЕТОДА

Аннотация. Приведены результаты систематизации данных о существующих и новых научных разработках вопросов детерминированного моделирования в общем логико-вероятностном методе (ОЛВМ), теории и технологии автоматизированного структурно-логического моделирования (АСМ).

Ключевые слова . Общий логико-вероятностный метод, схема функциональной целостности, вероятностные модели, детерминированное моделирование.

Введение. Исторически сложилось так, что все логико-вероятностные методы разрабатывались и использовались в целях моделирования и расчета вероятностных показателей различных свойств системных объектов (надежность, стойкость, живучесть, устойчивость, безопасность, технический риск, ожидаемый ущерб, эффективность). Однако в последние годы, наряду с дальнейшим расширением круга задач вероятностного анализа, все более востребованными становятся вопросы разработки методов и программных средств детерминированного моделирования структурно сложных систем различных видов, классов и назначения. В настоящем сообщении приведены результаты систематизации данных о существующих и новых научных и технологических разработках вопросов детерминированного моделирования в рамках общего логико-вероятностного метода (ОЛВМ) , теории и технологии автоматизированного структурно-логического моделирования (АСМ) .

1. Детерминированные методы аналитического ОЛВМ.

Следует отметить, что все логико-вероятностные методы системного анализа имеют четко выраженные детерминированные составляющие на всех основных этапах моделирования. На этапе постановки задач к детерминированным относятся все виды графических средств и методики построения структурных моделей исследуемых свойств – деревья отказов, деревья событий, блок-схемы, графы связности, схемы функциональной целостности и др. На следующих этапах логико-вероятностного моделирования детерминированными являются методы, алгоритмы и программы построения на основе заданной структурной схемы логических и вероятностных (точных или приближенных) математических моделей исследуемых свойств системы. На завершающем этапе ОЛВМ детерминированными выступают методы и процедуры вычислений вероятностных показателей свойств систем, на основе построенных точных или приближенных аналитических вероятностных функциях.

В рамках существующих отечественных и зарубежных типовых монотонных логико-вероятностных методов системного анализа были разработаны и успешно применяются различные точные и приближенные средства (методы, алгоритмы и программы) построения на основе деревьев отказов, блок-схем или графов связности детерминированных логических функций работоспособности систем (ФРС) и многочленов вероятностных функций (ВФ).

В ОЛВМ эти виды аналитических моделей строятся на основе логически универсального графического аппарата структурных схем функциональной целостности (СФЦ) . Детерминированные ФРС и ВФ определяются в ОЛВМ для всех видов монотонных и немонотонных моделей исследуемых свойств систем большой размерности и высокой структурной сложности . Для построения логических ФРС в ОЛВМ был разработан универсальный графоаналитический метод (УГМ) , а для построения многочленов ВФ – комбинированный метод . Эти методы доведены до программной реализации и используются в промышленных образцах программных комплексов автоматизированного структурно-логического моделирования систем .

Для иллюстрации детерминированного аналитического ОЛВМ рассматривается простой тестовый пример анализа типовой мостиковой системы . В левой части рис.1 изображена СФЦ мостиковой системы, введенная в программный комплекс (ПК) АСМ 2001, и соответствующая ей полная система логических уравнений. В примере решены три детерминированные задачи – построения логической ФРС, построения многочлена ВФ и аналитического расчета вероятности реализации критерия частичного отказа (частичной работоспособности) мостиковой системы (выходной элемент 3 выполнил, а выходной элемент 4 не выполнил свою функцию).

Рис.1 Тестовый пример применения детерминированного аналитического ОЛВМ

В правой части рис.1 приведены результаты применения УГМ для получения логической ФРС и комбинированного метода для построения многочлена ВФ. Аналитический расчет вероятности частичной работоспособности мостиковой системы выполнен для случая, когда вероятности всех элементарных событий равны .

В настоящее время продолжаются работы по дальнейшему совершенствованию методов детерминированного аналитического ОЛВМ. Вместе с тем, в последние годы произошло становление и развитие ряда новых специальных направлений детерминированного ОЛВМ анализа систем.

2. Детерминированные методы статистического ОЛВМ.

В статистическом логико-вероятностном моделировании детерминированными являются средства построения имитационных моделей исследуемых свойств структурно-сложных систем. На основе сформированных имитационных моделей методами статистических испытаний определяются количественные оценки вероятностных показателей исследуемых свойств системы. Первый логико-статистический метод (ЛСМ), разработанный И.А.Рябининым , в качестве имитационной модели использует логическую ФРС исследуемой системы. В ОЛВМ и ПК АСМ реализован другой – итерационный логико-статистический метод (ИЛСМ), разработанный Алексеевым А.О . ИЛСМ в качестве детерминированной имитационной модели использует непосредственно СФЦ исследуемой системы, которая представляется в форме монотонной или немонотонной системы логических уравнений. Это позволяет в статистическом ОЛВМ вообще не выполнять построения детерминированных аналитических моделей (ни ФРС, ни ВФ).

На рис.2 приведено окно автоматизированного моделирования ПК АСМ 2001 с результатами расчетов разными способами вероятностных показателей частичной работоспособности рассмотренной выше мостиковой системы (см. рис.1).

Рис.2 Результаты применения детерминированного метода статистического ОЛВМ

Из рис.2 следует, что с помощью детерминированного ОЛВМ автоматического формирования имитационной модели и выполнения на ее основе статистических расчетов вероятности частичной работоспособности мостиковой системы получен результат

Этот результат статистического ОЛВМ вполне согласуется с полученным

ЛВМ возник в результате исследований проблем безопасности сложных систем. С его помощью можно оценить вероятность отказа сложной системы.

ЛВМ относится к аксиоматическим методам принятия решений в условиях стохастической неопределенности. Он позволяет снизить эту неопределенность своим доказательным подходом и результатами экспериментов – вероятностными характеристиками альтернатив.

В пособии ЛВМ рассмотрен на примере решения задачи выбора наиболее надежной информационной системы.

Пусть множество альтернатив – это множество показателей рисков информационных систем (ИС). Требуется найти такую ИС, риск которой минимален.

Под риском системы рассматривается сумма рисков ресурсов, из которых она состоит:

где R i – риск i -го ресурса, n – количество ресурсов. С каждым ресурсом связано множество опасных состояний (ОС), реализация которых приводит к отказу данного ресурса.

В качестве примеров ресурсов ИС могут выступать информационные ресурсы, сервисы, физические или аппаратные ресурсы, программное обеспечение. Одним из примеров информационного ресурса может выступать база данных ИС.

Под риском i-го ресурса понимается сумма рисков, связанных с реализацией опасных состояний данного ресурса:

где r i j – риск реализации j -го опасного состояния i -го ресурса, ; M i – количество опасных состояний i -го ресурса.

Примерами ОС для ресурса «БД» являются нарушение конфиденциальности информации, полная или частичная потеря информации из-за выхода из строя носителя информации, нарушение доступа.

Под риском реализации j-го опасного состояния i-го ресурса понимается произведение вероятности P ij и стоимости потерь C ij от реализации данного опасного состояния ресурса:

.

Таким образом, задачу оценки риска системы можно разбить на следующие этапы:

1. описание структуры ресурсов системы;

2. описание множества опасных состояний ресурсов системы;

3. оценка вероятностей P ij реализации опасных состояний, в том числе, выявление меры влияния угроз на реализацию опасных состояний;

4. оценка стоимости потерь C ij от реализации опасных состояний.

Основные положения логико-вероятностного метода

Логико-вероятностный метод анализа безопасности сложных технических систем был предложен в 70-х годах 20 века
И. А. Рябининым. Основная идея данного метода состоит в сочетании логического и вероятностного подходов при оценке показателей надежности сложных технических, экономических, социальных систем и других систем .

В ЛВМ в качестве базовых используются понятия опасного состояния системы и опасности – способности системы переходить в опасное состояние. Описание опасного состояния системы начинается с составления сценария опасного состояния (ОС), который строится с использованием операций дизъюнкция и конъюнкция над инициирующими условиями и событиями .

В качестве инициирующих условий и событий выступают отказы одного или нескольких элементов системы. Каждому элементу системы ставится в соответствие логическая переменная x k () с двумя возможными состояниями (например, работоспособности/отказа, готовности/неготовности и т.п.) c заданными вероятностными параметрами этих состояний p k и q k =1-p k .

Сценарий является основой для составления логической функции, или функции алгебры логики (ФАЛ), описывающей опасное состояние системы.

Следующим шагом является преобразование функции алгебры логики к вероятностной функции, которая в дальнейшем используется для получения количественной оценки вероятности реализации опасного состояния.

Таким образом, с одной стороны, метод предоставляет механизм для формализации множества опасных состояний системы, а, с другой стороны, – теоретически обоснованный подход к количественной оценке риска системы.

Для системы, состоящей из различных ресурсов, ЛВМ используется с целью получения количественных оценок вероятностей реализации опасных состояний для каждого вида ресурсов. В свою очередь, каждый ресурс в ЛВМ также рассматривается как отдельная система.

Постановка задачи оценки вероятностей реализации опасных состояний ресурса

Дано:

1. Ресурс с номером i , для которого выделены опасные состояния S ij , , где m - число возможных состояний.

2. Структура ОС и вероятности инициирующих событий (угроз) x k , .

Требуется найти:

Вероятности P ij реализации опасных состояний S ij , .

Алгоритм решения

Шаг 1. Составление сценария опасного состояния S ij .

Шаг 2. Построение функции алгебры логики (ФАЛ) с использованием операций конъюнкция и дизъюнкция на основе сценария опасного состояния S ij .

Шаг 3. Построение вероятностной функции (ВФ) на основе функции алгебры логики.

Шаг 4. Расчет вероятности P ij реализации опасного состояния с помощью вероятностной функции.

Теоретические основы ЛВМ

В настоящее время математическая логика и теория вероятностей объединяются на основе логико-вероятностного исчисления . При этом предполагается, что теория вероятностей позволяет количественно оценивать надежность или безопасность систем, структура которых описывается средствами математической логики.

Основной проблемой в практическом применении ЛВМ является преобразование произвольных ФАЛ к формам перехода к полному замещению (ФППЗ). Для того чтобы сделать это преобразование стандартным и математически строгим, необходимо обратиться к специальному теоретическому аппарату, основные понятия и теоремы которого будут приведены ниже.

Будем полагать, что каждому элементу системы ставится в соответствие логическая переменная x k , () с двумя возможными состояниями (работоспособности/отказа, готовности/не готовности и т.п.) c заданными вероятностными параметрами этих состояний p k и q k =1-p k :

Кроме того, делается предположение, что все события x k являются независимыми в совокупности и что на рассматриваемом интервале времени работы системы исходные параметры законов распределений элементов не изменяются.

Выражение вида называется элементарной конъюнкцией K ранга r . Выражение вида , где – элементарные конъюнкции различных рангов, называется дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ). Если функция записана в ДНФ, причем ранг каждой элементарной конъюнкции равен n , то такая ДНФ называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ).

Выражение вида называется элементарной дизъюнкцией ранга r .

Две элементарные конъюнкции называются ортогональными , если их произведение равно нулю (пример: и ).

ДНФ называется ортогональной дизъюнктивной нормальной формой (ОДНФ), если все ее члены попарно ортогональны.

Бесповторной ДНФ (БДНФ) называется такая ДНФ, в которой каждая логическая переменная встречается ровно один раз.

Правила де Моргана позволяют логическое умножение выразить через отрицание логической суммы инверсий высказываний, а логическую сумму – через отрицание логического произведения инверсных высказывания. В дальнейшем они будут использоваться для приведения ФАЛ к специальному виду:

и

Вероятностной функцией (ВФ) будем называть вероятность истинности ФАЛ:

P (f (x 1 , x 2 , …, x h )=1 )

Функции алгебры логики, допускающие непосредственный переход к вероятностной функции заменой логических переменных вероятностями, а логических операций соответствующими арифметическими операциями, назовем формами перехода к замещению (ФПЗ).

Формами перехода к полному замещению (ФППЗ) называются ФПЗ, в которых производится замещение одновременно всех логических переменных.

Булевой разностью функции по аргументу x k называется

где символом « » обозначена логическая операция «сумма по модулю два».

Функция называется монотонной , если для любых наборов (a 1 , …, a h ) и (b 1 , …, b h ), таких, что , (k=1,2,…,h ) имеет место соотношение f (a 1 , …, a h ) f (b 1 , …, b h ). Далее рассмотрим ряд основных теорем.

Теорема 1. Частная производная от вероятности истинности монотонной ФАЛ по вероятности истинности аргумента x k численно равна вероятности истинности булевой разности этой функции по аргументу x k :

Теорема 2. Вероятность истинности произвольной ФАЛ, представленной в ОДНФ, равна сумме вероятностей истинности всех ортогональных членов этой ФАЛ:

,

где O u – не только элементарные конъюнкции ОДНФ, но и любые ФАЛ, попарно ортогональные.

Теорема 3. Дизъюнкция ортогональных бесповторных форм в базисе конъюнкция-отрицание является формой перехода к полному замещению.

В настоящее время известно несколько ФППЗ – это совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ), ортогональная дизъюнктивная нормальная форма (ОДНФ) и бесповторные ФАЛ (БФАЛ) в базисе «конъюнкция-отрицание».

Если ФАЛ представлена в ФППЗ, то переход к вероятностной функции осуществляется по следующим правилам:

1. Каждая логическая переменная в ФППЗ заменяется вероятностью ее равенства единице:

, ;

2. Отрицание функции заменяется разностью между единицей и вероятностью равенства этой функции единице;

3. Операции логического умножения и сложения заменяются операциями арифметического умножения и сложения.

Составление сценария опасного состояния

Составления сценария опасного состояния ИС можно представить в виде следующей последовательности шагов:

1. выделение конечного события – опасного состояния (отказа),

2. выделение промежуточных событий, приводящих к реализации опасного состояния и получаемых как комбинация двух или более инициирующих событий,

3. выделение инициирующих событий-угроз.

Для представления опасного состояния используется дерево событий или отказов.

На рис. 5.2 представлен пример сценария опасного состояния в виде дерева событий.

Рис. 5.2. Пример дерева событий для описания опасного состояния системы

Построение функции алгебры логики

С помощью дерева событий составляется функция алгебры логики, описывающая условия перехода системы в опасное состояние.

Для описания условий перехода системы в опасное состояние используется понятие «кратчайший путь опасного функционирования » (КПОФ), под которым понимается конъюнкция минимального набора элементов системы, обеспечивающих вместе переход системы в опасное состояние:

,

где K wl – множество номеров переменных, соответствующих данному пути.

Условие перехода системы в опасное состояние можно представить в виде дизъюнкции всех имеющихся КПОФ:

.

Пример. Пусть дерево событий имеет вид, представленный на рис. 5.2.

Тогда КПОФ являются: , , , .

Условие перехода системы в опасное состояние имеет вид:

Построение вероятностной функции

На предыдущем этапе была получена ФАЛ , описывающая опасное состояние системы как дизъюнкцию всех КПОФ. Следующим шагом является преобразование ФАЛ к ФППЗ – СДНФ, ОДНФ или бесповторной ФАЛ в базисе конъюнкция-отрицание (БФАЛ).

Построение вероятностной функции на основе ФППЗ осуществляется согласно правилам, описанным выше. Результатом данного этапа является вероятностная функция

Расчет оценки вероятности реализации опасного состояния

Подставляя значения в ВФ, полученную на предыдущем этапе, получаем оценку вероятности реализации опасного состояния P ij .

Пример

Рассмотрим пример применения ЛВМ для оценки риска реализации опасного состояния «Нарушение конфиденциальности базы данных ИС (БД ИС)».

Шаг 1. Составление сценария опасного состояния ресурса (рис. 5.3).

Рис. 5.3. Сценарий ОС «Нарушение конфиденциальности БД ИС»

Шаг 2. Построение функции алгебры логики.Согласно описанному сценарию, логическая функция принимает вид:

F=X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 X 8 X 9 X 10 X 11 X 12 X 13 X 14 X 15 X 12 X 13 X 14 X 15

ЛОГИКО-ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА НАДЕЖНОСТИ

Любой метод анализа надежности требует описания условий работоспособности системы. Такие условия могут быть сформулированы на основании:

Структурной схемы функционирования системы (схемы расчета надежности);

Словесного описания функционирования системы;

Граф-схемы;

Функции алгебры логики.

Логико-вероятностный метод анализа надежности позволяет формализовать определение и смысл благоприятных гипотез. Сущность этого метода состоит в следующем.

· Состояние каждого элемента кодируется нулем и единицей:

В функциях алгебры логики состояния элементов представляются в следующем виде:

Х i - исправное состояние элемента, соответствующее коду 1;

Отказовое состояние элемента, соответствующее коду 0.

Записывается с помощью функций алгебры логики условие работоспособности системы через работоспособность (состояние) ее элементов. Полученная функция работоспособности системы является двоичной функцией двоичных, аргументов.

Полученная ФАЛ преобразуется таким образом, чтобы в ней содержались члены, соответствующие благоприятным гипотезам исправной работы системы.

В ФАЛ вместо двоичных переменных х i и подставляются вероятности соответственно безотказной работы р i и вероятности отказа q i . Знаки конъюнкции и дизъюнкции заменяются алгебраическими умножением и сложением.

Полученное выражение и есть вероятность безотказной работы системы P c (t).

Рассмотрим логико-вероятностный метод на примерах.

ПРИМЕР 5.10. Структурная схема системы представляет собой основное (последовательное) соединение элементов (рис. 5.14).

На структурной схеме х i , i = 1, 2,..., п - состояние i -го элемента системы, кодируемое 0, если элемент находится в отказовом состоянии, и 1, если он исправный. В данном случае система исправна, если исправны все ее элементы. Тогда ФАЛ является конъюнкцией логических переменных, т.е. у=x 1 ,x 2 ,…..,х п, представляющей собой совершенную дизъюнктивно нормальную форму системы.

Подставляя вместо логических переменных вероятности исправных состояний элементов и, заменяя конъюнкцию на алгебраическое умножение, получим:

ПРИМЕР 5.11. Структурная схема системы представляет собой дублированную систему с неравнонадежными, постоянно включенными подсистемами (рис. 5.15).

На рис. 5.15 х 1 и х 2 - состояния элементов системы. Составим таблицу истинности двух двоичных переменных (табл. 5.2).

В таблице 0 - отказовое состояние элемента, 1 - исправное состояние элемента. В данном случае система исправна, если исправны оба элемента (1,1) или один из них ((0,1) или (1,0)). Тогда работоспособное состояние системы описывается следующей функцией алгебры логики:

Этафункция является совершенной дизъюнктивной нормальной формой. Заменяя операции дизъюнкции и конъюнкции на алгебраические операции умножения и сложения, а логические переменные - на соответствующие вероятности состояния элементов, получим вероятность безотказной работы системы:

ПРИМЕР 5.12. Структурная схема системы имеет вид, показанный на рис. 5.16.

Составим таблицу истинности (табл. 53).

В данном примере система исправна, если исправны все ее элементы или исправным является элемент x i и один из элементов дублированной пары (х 2 , х 3 ). На основании таблицы истинности СДНФ будет иметь вид:

Подставляя вместо двоичных переменных соответствующие вероятности, а вместо конъюнкций и дизъюнкций - алгебраические умножение и сложение, получим вероятность безотказной работы системы:

Функцию алгебры логики можно представить в минимальной форме, если воспользоваться следующими преобразованиями:

Операции поглощения и склеивания в алгебре не применимы. В связи с этим нельзя полученную ФАЛ минимизировать, а затем вместо логических переменных подставлять значения вероятностей. Вероятности состояний элементов следует подставлять в СДНФ, а упрощать по правилам алгебры.

Недостатком описанного метода является необходимость составления таблицы истинности, что требует перебора всех работоспособных состояний системы.

5.3.2. Метод кратчайших путей и минимальных сечений

Этот метод был рассмотрен ранее в разд. 5.2.3. Изложим его с позиции алгебры логики.

Функцию работоспособности можно описать с помощью кратчайших путей пешного функционирования системы и минимальных сечений ее отказа.

Кратчайшим путем называется минимальная конъюнкция работоспособных:стояний элементов, образующих работоспособную систему.

Минимальным сечением называется минимальная конъюнкция неработоспособных состояний элементов, образующих неработоспособное состояние системы.

ПРИМЕР 5.13. Необходимо образовать функцию работоспособности системы структурная схема которой приведена на рис. 5.17, используя метод кратчайших путей и минимальных сечений.

Решение. В данном случае кратчайшими путями, образующими работоспособную систему, будут: х 1 х 2 , х 3 х 4 , х 1 х 5 х 4 , х 3 х 5 х 2 . Тогда функция работоспособности запишется в виде следующей функции алгебры логики:

В соответствии с этой ФАЛ структурная схема системы рис. 5.17 может быть представлена структурной схемой рис. 5.18.

Минимальными сечениями, образующими неработоспособную систему, будут: х 1 х 3 , х 2 х 4 , х 1 х 5 х 4 , х 3 х 5 х 2 . Тогда функция неработоспособности запишется в виде следующей функции алгебры логики:

В соответствии с этой ФАЛ структурная схема системы будет представлена в виде, показанном на рис. 5.19.

Следует иметь в виду, что структурные схемы рис. 5.18 и рис. 5.19 не являются схемами расчета надежности, а выражения для ФАЛ работоспособного и неработоспособного состояний не являются выражениями для определения вероятности безотказной работы и вероятности отказа:

Основные достоинства ФАЛ в том, что они позволяют получить формально, не составляя таблицы истинности, СДНФ и СКНФ (совершенная конъюнктивная нормальная форма), которые дают возможность получить вероятность безотказной работы (вероятность отказа) системы путем подстановки в ФАЛ вместо логических переменных соответствующих значений вероятностей безотказной работы, заменив операции конъюнкции и дизъюнкции на алгебраические операции умножения и сложения.

Для получения СДНФ необходимо каждый дизъюнктивный член ФАЛ умножить на, где х i - недостающий аргумент, и раскрыть скобки. Ответом будет СДНФ. Рассмотрим этот способ на примере.

ПРИМЕР 5.14. Необходимо определить вероятность безотказной работы системы, структурная схема которой приведена на рис. 5.17. Вероятности безотказной работы элементов равны р 1 , р 2 , р 3 , р 4 , р 5 .

Решение. Воспользуемся методом кратчайших путей. Функция алгебры логики, полученная методом кратчайших путей, имеет вид:

Получим СДНФ системы. Для этого умножим дизъюнктивные члены на недостающие:

Раскрывая скобки и выполняя преобразования по правилам алгебры логики, получим СДНФ:

Подставляя в СДНФ вместо х 1 , х 2 , х 3 , х 4 , х 5 вероятности безотказной работы р 1 , р 2 , р 3 , р 4 , р 5 и используя соотношения q i = 1–р i , получим следующее выражение для вероятности безотказной работы системы.

Из приведенного примера видно, что метод кратчайших путей освободил нас от определения благоприятных гипотез. Тот же результат можно получить, если воспользоваться методом минимальных сечений.

5.3.3. Алгоритм разрезания

Алгоритм разрезания позволяет получить ФАЛ, подставляя в которую вместо логических переменных вероятности безотказной работы (вероятности отказа) элементов можно найти вероятность безотказной работы системы. Получения для этой цели СДНФ не требуется.

Алгоритм разрезания основан на следующей теореме алгебры логики: функция алгебры логики у(х ь х 2 ,...,х п) может быть представлена в следующей форме:

Покажем применимость этой теоремы на трех примерах:

Применяя второй распределительный закон алгебры логики, получим:

ПРИМЕР 5.15. Определить вероятность безотказной работы системы, струк­турная схема которой представлена на рис. 5.16, воспользовавшись алгоритмом разрезания.

Решение. Используя метод кратчайших путей, получим следующую ФАЛ:

Применим алгоритм разрезания:

Подставляя теперь вместо логических переменных вероятности и заменяя операции конъюнкции и дизъюнкции на алгебраические умножение и сложение, получим:

ПРИМЕР 5.16. Определить вероятность безотказной работы системы, структурная схема которой приведена на рис. 5.17. Воспользоваться алгоритмом разрезания.

Решение. Функция алгебры логики, полученная методом минимальных сечений, имеет вид:

Реализуем алгоритм разрезаний относительно х 5:

Упростим полученное выражение, пользуясь правилами алгебры логики. Вы-ражение в первых скобках упростим, используя правило выноса за скобки:

Тогда ФАЛ будет иметь вид:

Этому выражению соответствует структурная схема рис. 5.20.

Полученная схема является также схемой расчета надежности, если логические переменные заменить вероятностями безотказной работы р 1 , р 2 , р 3 , р 4 , р 5 , а переменную - вероятностью отказа q 5 . Из рис. 5.20 видно, что структурная схема системы сведена к последовательно-параллельной схеме. Вероятность безотказной работы вычисляется по следующей формуле:

Формула в объяснении не нуждается, она записана непосредственно по структурной схеме.

5.3.4. Алгоритм ортогонализации

Алгоритм ортогонализации, как и алгоритм разрезания, позволяет формальными процедурами образовать функцию алгебры логики, подставляя в которую вместо логических переменных вероятности, а вместо дизъюнкций и конъюнкции - алгебраические сложение и умножение, получить вероятность безотказной работы системы. Алгоритм основан на преобразовании функций алгебры логики в ортогональную дизъюнктивную нормальную форму (ОДНФ), которая существенно короче СДНФ. Прежде чем излагать методику, сформулируем ряд определений и приведем примеры.

Две конъюнкции называются ортогональными, если их произведение тождественно ноль. Дизъюнктивная нормальная форма называется ортогональной, если все ее члены попарно ортогональны. СДНФ является ортогональной, но самой длинной из всех ортогональных функций.

Ортогональную ДНФ можно получить с помощью следующих формул:

Эти формулы легко доказать, если воспользоваться вторым распределительным законом алгебры логики и теоремой де-Моргана. Алгоритмом получение ортогональной дизъюнктивной нормальной формы является следующая процедура преобразования функции у(х 1 ,х 2 ,..., х п) в ОДНФ:

Функция у(х 1 ,х 2 ,..., х п) преобразуется в ДНФ с помощью метода кратчайших путей или минимальных сечений;

Находится ортогональная дизъюнктивно-нормальная форма с помощью формул (5.10) и (5.11);

Минимизируется функция путем приравнивания к нулю ортогональных членов ОДНФ;

Логические переменные заменяются вероятностями безотказной работы (вероятностями отказов) элементов системы;

Окончательное решение получается после упрощения выражения, полученного на предыдущем шаге.

Рассмотрим методику на примере.

ПРИМЕР 5.17. Определить вероятность безотказной работы системы, струк­турная схема которой приведена на рис. 5.17. Применить метод ортогонализации.

Решение. В данном случае функционирование системы описывается следующей функцией алгебры логики (метод минимальных сечений):

Обозначим К 1 = х 1 х 2 , К 2 = х 3 х 4 , К 3 = х 1 х 5 х 4 , К 4 = х 3 х 5 х 2 . Тогда ОДНФ запишется в следующем виде:

Значения , i = 1,2,3, на основании формулы (5.10) будут иметь вид:

Подставляя эти выражения в (5.12), получим:

Заменяя в этом выражении логические переменные соответствующими вероятностями и выполняя алгебраические операции сложения и умножения, по­лучим вероятность безотказной работы системы:

Ответ совпадает с полученным в примере 5.14.

Из примера видно, что алгоритм ортогонализации более производительный, чем способы, рассмотренные ранее. Более подробно логико-вероятностные методы анализа надежности изложены в . Логико-вероятностный метод, как и любой другой, имеет свои достоинства и недостатки. О его достоинствах было сказано ранее. Укажем его недостатки.

Исходными данными в логико-вероятностном методе являются вероятности безотказной работы элементов структурной схемы системы. Однако во мно­гих случаях эти данные не могут быть получены. И не потому, что надежность элементов неизвестна, а потому, что время функционирования элемента является случайной величиной. Это имеет место в случае резервирования замещением, наличия последействия отказов, неодновременноcти работы элементов, наличия восстановления с различной дисциплиной обслуживания и во многих других случаях.

Приведем примеры, иллюстрирующие эти недостатки. Структурная схема системы имеет вид, показанный на рис. 5.21, где приняты следующие обозначения: x i - логические переменные, имеющие значения 0 и 1, соответствующие отказу и исправной работе элемента, x i = 1, 2, 3.

В данном случае логическая переменная дс 3 является 0 до момента времени τ отказа основного элемента и 1 в течение времени (t-τ), где t - врем, в течение которого определяется вероятность безотказной работы системы. Время τ является величиной случайной, поэтому значение р(τ) неизвестно. В данном случае составить ФАЛ и тем более СДНФ невозможно. Ни один израссмотренных нами логико-вероятностных методов не позволяет найти вероятность безотказной работы системы.

Вот еще один типичный пример. Энергетическая система состоит из регулятора напряжения R н и двух параллельно работающих генераторов Г 1 и Г 2 . Структурная схема системы показана на рис. 5.22.

При отказе одного из генераторов оставшийся исправным работает один общую нагрузку. Его интенсивность отказов увеличивается. Если до момента τ отказа одного из генераторов интенсивность его отказа была равна λ , то после отказа λ 1 > λ 2 . Так как время τ является величиной случайной, то Р(τ) неизвестно. Здесь, как и в случае резервирования замещением, логико-вероятностные методы бессильны. Таким образом, указанные недостатки логико-вероятностных методов снижают их практическое применение при расчете надежности сложных систем.

5.4. Топологические методы анализа надежности

Топологическими будем называть методы, которые позволяют определить показатели надежности либо по графу состояний, либо по структурной схеме системы, не составляя и не решая уравнений. Топологическим методам посвящен ряд работ , в которых описаны различные способы их практической реализации. В настоящем разделе излагаются методы, позволяющие определить показатели надежности по графу состояний.

Топологические методы дают возможность вычислять следующие показатели надежности:

- Р(t) - вероятность безотказной работы в течение, времени t ;

- T 1 , - среднее время безотказной работы;

- К г (t) - функцию готовности (вероятность того, что система исправна в любой произвольный момент времени t );

- К г = - коэффициент готовности;

T - наработку на отказ восстанавливаемой системы.

Топологические методы имеют следующие особенности:

Простота вычислительных алгоритмов;

Высокая наглядность процедур определения количественных характери­стик надежности;

Возможность приближенных оценок;

Отсутствие ограничений на вид структурной схемы (системы, восстанавливаемые и невосстанавливаемые, нерезервированные и резервированные с любым видом резервирования и любой кратностью).

В настоящей главе будут рассматриваться ограничения топологических методов:

Интенсивности отказов и восстановления элементов сложной системы являются величинами постоянным»;

Временные показатели надежности, такие как вероятность безотказной работы и функция готовности, определяются в преобразованиях Лапласа;

Трудности, в ряде случаев непреодолимые, при анализе надежности сложных систем, описываемых многосвязным графом состояний.

Идея топологических методов состоит в следующем.

Граф состояний является одним из способов описания функционирования системы. Он определяет вид дифференциальных уравнений и их количество. Интенсивности переходов, характеризующие надежность элементов и их восстанавливаемость, определяют коэффициенты дифференциальных уравнений. Начальные условия выбираются кодированием узлов графа.

В графе состояний содержится вся информация о надежности системы. А это является основанием считать, что показатели надежности могут быть вычислены непосредственно по графу состояний.

5.4.1. Определение вероятностей состояний системы

Вероятность застать восстанавливаемую систему в состоянии i в фиксированный момент времени t в преобразовании Лапласа может быть записана в следующем виде:

где Δ(s) - главный определитель системы дифференциальных уравнений, записанной в преобразованиях Лапласа; Δ i (s) - частный определитель системы.

Из выражения (5.13) видно, что P i (s) будет определена, если из графа состояний будут найдены степени тип полиномов числителя и знаменателя, а также коэффициенты B ij (j = 0,1,2,..., m ) и А i (i = 0,1, 2,..., n -1).

Первоначально рассмотрим методику определения P i (s) графа состояний только таких систем, в графе состояний которых отсутствуют переходы через состояния. К ним относятся все неизбыточные системы, резервированные системы при общем резервировании с целой и дробной кратностью, резервированные системы любой структуры с обслуживанием отказавших устройств в последовательности, обратной их поступлению в ремонт. К указанному классу систем относятся также некоторые резервированные системы с равнонадежными устройствами при различной дисциплине их обслуживания.

Функционирование системы описывается дифференциальными уравнениями, число которых равно числу узлов графа. Это значит, что главный определитель системы Δ(s) в общем случае будет полиномом n -й степени, где n - число узлов графа состоянии. Легко показать, что полином знаменателя не содержит свободного члена. Действительно, т.к. то знаменатель функции P i (s) должен содержать s в качестве сомножителя, в противном случае финальная вероятность P i (∞) будет равна нулю. Исклю­чением являются случаи, когда число ремонтов ограничено.

Степень полинома числителя Δ i находится из выражения:

m i = n - 1 – l i ,

где n - число узлов графа состояний; l i - число переходов из начального состояния системы, определенного начальными условиями ее функционирования, в состояние i по кратчайшему пути.

Если начальным состоянием системы является состояние, когда все устройства исправны, то l i - номер уровня состояния i , т.е. l i равно минимальному числу отказавших устройств системы в состоянии i . Таким образом, степень полинома числителя вероятности Р i (s) пребывания системы в i -м состоянии зависит от номера состояния i и от начальных условий. Так как число переходов l i может быть 0,1,2,..., n -1, то степень полинома Δ i (s) на основании (5.14) также может принимать значения m i = 0,1,2,..., n -1.

Под структурно-сложной системой с точки зрения анализа надежности будем понимать систему, состоящую из произвольного количества произвольно соединенных резервированных звеньев (параллельно-последовательных, мостиковых). В предыдущих лекциях были рассмотрены два метода исследования надежности структурно-сложных систем: метод анализа сложных последовательно-параллельных структур, метод разложения относительно особого элемента. При большом количестве элементов и межэлементных связей проведение расчетов надежности этими методами является крайне сложной задачей. Автоматизация расчетов позволяет решить проблему анализа надежности структурно-сложных систем. Для осуществления автоматизации необходимо иметь общее формальное описание “надежностного поведения” анализируемой системы. В качестве такого описания была выбрана алгебра логики (см. приложение). Метод анализа надежности сложных систем, при котором их структура описывается средствами математического аппарата бинарной алгебры логики, а количественная оценка надёжности производится с помощью теории вероятностей, получил название логико-вероятностного метода .

Применение логико-вероятностных методов для определения значений вероятностных показателей надежности в момент времени t для системы, состоящей из n элементов, осуществляется в несколько этапов:

· конструирование логической функции работоспособности системы

· преобразование логической функции к форме перехода к замещению

· получение расчетной вероятностной формулы

1. Конструирование логической функции работоспособности (неработоспособности) системы

Делается предположение о том, что как сама система, так и составляющие ее элементы могут находится только в двух состояниях – работоспособности и отказа, причем отказы элементов предполагаются независимыми. Тогда, исходя из условий работоспособности (неработоспособности) системы, можно сконструировать логическую функцию ее работоспособности S(x ) (неработоспособности )

(1)

Аргументом функции S является вектор-строка x логических переменных ,, таких что

(2)

Например, если за исходное описание системы принять уже изученные нами блок-схемы надежности, то для системы, состоящей из двух последовательно соединенных в смысле надежности элементов (отказ каждого является отказом системы в целом) (рис.1.а), , а . Функция работоспособности дублированной системы, в которой одиночные отказы элементов не приводят к ее отказу (рис.1.б), равна , неработоспособности - . Для мостиковой структуры (рис.1.в) , . Эти функции построены достаточно формально – они отражают наличие хотя бы одной связи (пути) между входом и выходом надежностной схемы системы. Путь работоспособен, если работоспособны все входящие в него элементы. Поэтому каждому пути соответствует элементарная конъюнкция переменных, соответствующих входящим в путь элементам, а S(X) – есть дизъюнкция всех элементарных конъюнкций, соответствующих возможным путям от входа к выходу. Для систем небольшой размерности запись подобных логических выражений не представляет труда, для сложных систем, состоящих из большого числа компонентов, требуются специальные алгоритмы прохода схемы и формирования путей.

Похожие статьи